Algebraische Topologie by Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

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E8 8eien (X,d) ein metri8cher Raum, (E, II II) ein normierter reeller Vektorraum und A eine nicht leere abge8chl088ene Teilmenge von X. h. e8 gibt eine 8tetige Abbildung F : X -+ E derart, daft FIA = f, wo FIA die Ein8chriinkung von F auf A bezeichnet. F kann 80 gewiihlt werden, daft F(X) in der konvexen Hulle von f(A) enthalten i8t. BEWEIS: Fur jedes x E X \ A sei ex = td(x, A) und Bx = B(x, ex). 4 existiert zu der offenen Uberdeckung (Bx)xEX\A eine feinere 10kalendliche offene Uberdeckung (Uj)jEJ von X \ A.

Es wird eine Abbildung j : Y -+ Z definierl durch j(x) = i(x), falls x E X und j(oo) = Zoo jist bijektiv und stetig. Es ist lediglich die Stetigkeit in 00 nachzuweisen. Dazu sei V eine offene Umgebung von zoo Dann ist Z \ V kompakte Teilmenge von X' und K = i- 1 (Z \ V) kompakte Teilmenge von Y. U = Y \ Kist eine Umgebung von 00 mit j(U) C V. 12 ist j ein Homoomorphismus. 27 Definition. Es seien X und Y lokalkompakte Raume. Eine stetige Abbildung j : X -+ Y heifit eigentlich, wenn fur jede kompakte Teilmenge K von Y das Urbild j-l(K) kompakt ist.

N} und E~=o til = I}. § 6. Zusammenhang 57 § 6 Zusammenhang Zusammenhang und wegweiser Zusammenhang sind Begriffe, die unmittelbar der Anschauung entnommen sind. Von einem zufriedenstellenden Zusammenhangsbegriff wird man erwarten, dafi jeder Raum mit der indiskreten Topologie zusammenhangend ist, ein diskreter Raum, der ja aus diskreten Punkten ohne jede Beziehung zueinander besteht, extrem unzusammenhangend ist, wenn er mehr als einen Punkt enthiilt. Ais zusammenhangende Teilmengen von Dl, die mehr als einen Punkt enthalten, erwartet man die Intervalle.

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